| |
| Avtor |
Sporočilo |
< Matematično ~ tranzitivno delovanje grupe |
| naty11 |
 Objavljeno: 02 Maj 2010 12:30 |
 |
|
|
Pridružen/-a: 02.05. 2010, 11:22
Prispevkov: 2
|
pozdravljeni!
zanimajo me najpomembnejši izreki v zvezi s tranzitivnim delovanjem grupe + dokaz + preprost zgled.
Hvala!
lp |
|
|
| Nazaj na vrh |
  |
| naty11 |
| Objavljeno: 04 Maj 2010 09:06 |
|
|
|
Pridružen/-a: 02.05. 2010, 11:22
Prispevkov: 2
|
Ali lahko prosim kdo pogleda izreke, in teh nekaj dokazov. Ali ima kdo idejo kako bi dokazala tiste izreke, ki jih nisem?
Lp
**Delovanje je tranzitivno, če grupa G deluje na množico X tako, da ima eno samo orbito ([x]=X).
**Naj G deluje (z leve) na Z tranzitivno. Potem so vsi stabilizatorji med sabo konjugirane podgrupe.
G_w={g∈G│g∙w=w}
={g∈G│g∙(a∙z)=a∙z}
={g∈G│ga∙z=a∙z}
={g∈G│a^(-1) ga∙z=z}
={g∈G│a^(-1) ga∈G_z }
={g∈G│g∈aG_z a^(-1) }
= aG_z a^(-1)
**Naj G deluje (z leve) na Z tranzitivno. Potem je |Z|=[G:Gz_0].
Zaradi tranzitivnosti je preslikava g↦g∙z_0 surjektivna: {g∈G│g∙z_0=z}.
Še drugače: kdaj bo g_1∙z_0=g_2∙z_0? g_2^(-1)∙g_1∙z_0=z_0
g_2^(-1)∙g_1∈G_(z_0 )
g_1∈g_2 G_(z_0 )
g_1 G_(z_0 )∈g_2 G_(z_0 )
Točk v Z je natanko toliko, kolikor je odsekov.
**Naj grupa G deluje na množici X tranzitivno in naj bo x poljuben element množice X. Tedaj je to delovanje ekvivalentno delovanju grupe G na odsekih podgrupe G_x.
Označimo z r:G→X dano tranzitivno delovanje grupe G na X in naj bo f:G→Sym(G⁄G_x ) delovanje grupe G na odsekih podgrupe G_x. Definirajmo preslikavo g:Y→X,G_x↦x^h. Preverimo, da je g dobro definirana preslikava. Denimo, da je h'∈G takšen, da je G_x h=G_x h^'. tedaj je h'h^(-1)∈G_x, in zato x^(h^' h^(-1) )=x. To pa pomeni, da je x^h=x^(h^' ). Se pravi, slika x^h odseka G_x h je neodvisna od izbire predstavnika h, kar pomeni, da je predpis g dobro definiran. Preslikava g je surjektivna, ker je delovanje r tranzitivno. Preverimo še, da je injektivna. Naj bo h'∈G takšen, da je x^h=x^(h^' ). Tedaj je h'h^(-1)∈G_x, in zato G_x h=G_x h^'. S tem je injektivnost dokazana. Preslikava g je torej bijekcija. Vzemimo G_x h∈Y in g∈G ter izračunajmo g((G_x h)^f(g) )=g((G_x hg)=x^hg=(x^h )^g=g(G_x h)^(r(g)). To pa pomeni, da je par (〖id〗_G,g) ekvivalenca delovanj g in r.
**Naj grupa G deluje tranzitivno na množici V in naj bo k moč stabilizatorja nekega elementa x iz V. Tedaj je |G|=|V|k. |
|
|
| Nazaj na vrh |
|
|
|
Časovni pas GMT + 2 uri, srednjeevropski - poletni čas
|
|
Ne, ne moreš dodajati novih tem v tem forumu
Ne, ne moreš odgovarjati na teme v tem forumu
Ne, ne moreš urejati svojih prispevkov v tem forumu
Ne, ne moreš brisati svojih prispevkov v tem forumu
Ne ne moreš glasovati v anketi v tem forumu
|
|
|
